Решите неравенство $$ (4 - x)(x^2 + x - 20) \ge 0 $$

Решение неравенства

Сначала разложим квадратный трехчлен $$ x^2 + x - 20 $$ на множители. Найдем его корни:

$$ x^2 + x - 20 = 0 $$

Используем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 $$

$$ x_1 = \frac{-b - \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{-1 - \text{sqrt}(81)}{2(1)} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$

$$ x_2 = \frac{-b + \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{-1 + \text{sqrt}(81)}{2(1)} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$

Таким образом, $$ x^2 + x - 20 = (x - (-5))(x - 4) = (x + 5)(x - 4) $$.

Исходное неравенство примет вид:

$$ (4 - x)(x + 5)(x - 4) ≥ 0 $$

Заметим, что $$ (4 - x) = -(x - 4) $$. Подставим это:

$$ -(x - 4)(x + 5)(x - 4) ≥ 0 $$

$$ -(x - 4)^2(x + 5) ≥ 0 $$

Умножим обе части на -1, меняя знак неравенства:

$$ (x - 4)^2(x + 5) ≤ 0 $$

Выражение $$ (x - 4)^2 $$ всегда неотрицательно. Для выполнения неравенства $$ (x - 4)^2(x + 5) ≤ 0 $$, возможны два случая:

Случай 1:

$$ (x - 4)^2 = 0 $$

Это означает, что $$ x - 4 = 0 $$, то есть $$ x = 4 $$. В этом случае левая часть равна 0, что удовлетворяет условию $$ ≤ 0 $$.

Случай 2:

$$ (x - 4)^2 > 0 \text{ и } x + 5 ≤ 0 $$

$$ x \neq 4 \text{ и } x ≤ -5 $$

Объединяя эти условия, получаем $$ x ≤ -5 $$.

Объединяя решения из Случая 1 и Случая 2, получаем:

$$ x ≤ -5 \text{ или } x = 4 $$

Ответ: $$ (-∞; -5] ∪ \{4\} $$.