Решите неравенство $$ (x^2 - 2x - 8)(x^2 - 9x + 20) \ge 0 $$

Решение неравенства

Разложим оба квадратных трехчлена на множители.

Первый трехчлен: $$ x^2 - 2x - 8 $$

Найдем корни $$ x^2 - 2x - 8 = 0 $$:

$$ D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 $$

$$ x_1 = \frac{2 - \text{sqrt}(36)}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2 $$

$$ x_2 = \frac{2 + \text{sqrt}(36)}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 $$

Значит, $$ x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4) $$.

Второй трехчлен: $$ x^2 - 9x + 20 $$

Найдем корни $$ x^2 - 9x + 20 = 0 $$:

$$ D = (-9)^2 - 4(1)(20) = 81 - 80 = 1 $$

$$ x_1 = \frac{9 - \text{sqrt}(1)}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4 $$

$$ x_2 = \frac{9 + \text{sqrt}(1)}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5 $$

Значит, $$ x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) $$.

Теперь исходное неравенство выглядит так:

$$ (x + 2)(x - 4)(x - 4)(x - 5) \ge 0 $$

$$ (x + 2)(x - 4)^2(x - 5) \ge 0 $$

Заметим, что $$ (x - 4)^2 ≥ 0 $$ для всех $$ x $$. Следовательно, знак всего произведения определяется знаками $$ (x + 2) $$ и $$ (x - 5) $$, при условии, что $$ x \neq 4 $$ (чтобы не делить на ноль, если бы это было в знаменателе).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $$ (x - 4)^2 = 0 $$

Это происходит при $$ x = 4 $$. В этом случае левая часть равна 0, что удовлетворяет условию $$ ≥ 0 $$.

Случай 2: $$ (x - 4)^2 > 0 $$ (т.е. $$ x \neq 4 $$)

В этом случае неравенство сводится к:

$$ (x + 2)(x - 5) ≥ 0 $$

Корни этого квадратного трехчлена: $$ x = -2 $$ и $$ x = 5 $$. Так как ветви параболы $$ y = (x + 2)(x - 5) $$ направлены вверх, то $$ (x + 2)(x - 5) ≥ 0 $$ при:

$$ x ≤ -2 \text{ или } x ≥ 5 $$

Теперь объединим решения из обоих случаев. Случай 1 дал нам $$ x = 4 $$. Случай 2 дал $$ x ≤ -2 $$ или $$ x ≥ 5 $$. Важно, что $$ x=4 $$ не нарушает условий $$ x \neq 4 $$ из второго случая, но сам по себе является решением.

Объединяя, получаем:

$$ (-∞; -2] ∪ [5; +∞) ∪ \{4\} $$

Ответ: $$ (-∞; -2] ∪ \{4\} ∪ [5; +∞) $$.