Решите неравенство $$ \frac{12}{x^2 - 7x - 8} \le 0 $$

Решение неравенства

Сначала приведем неравенство к стандартному виду. Оно уже имеет такой вид:

$$ \frac{12}{x^2 - 7x - 8} \le 0 $$

Числитель (12) всегда положителен. Следовательно, чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицателен.

$$ x^2 - 7x - 8 < 0 $$

Найдем корни квадратного трехчлена $$ x^2 - 7x - 8 = 0 $$. Можно использовать дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81 $$

$$ x_1 = \frac{-b - \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{7 - \text{sqrt}(81)}{2(1)} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$

$$ x_2 = \frac{-b + \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{7 + \text{sqrt}(81)}{2(1)} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$

Таким образом, парабола $$ y = x^2 - 7x - 8 $$ пересекает ось x в точках -1 и 8. Так как коэффициент при $$ x^2 $$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, $$ x^2 - 7x - 8 < 0 $$ при $$ x $$, лежащем между корнями:

$$ -1 < x < 8 $$

Также нужно учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $$ x \neq -1 $$ и $$ x \neq 8 $$. Это условие уже учтено в строгом неравенстве.

Ответ: $$ (-1; 8) $$.