Решите неравенство $$ \frac{3x^2 - 18x + 27}{x + 7} \le 0 $$

Решение неравенства

Сначала упростим числитель, вынеся общий множитель 3:

$$ 3(x^2 - 6x + 9) $$

Выражение в скобках является полным квадратом:

$$ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $$

Таким образом, числитель равен $$ 3(x - 3)^2 $$.

Неравенство принимает вид:

$$ \frac{3(x - 3)^2}{x + 7} \le 0 $$

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $$ x + 7 \neq 0 $$, то есть $$ x \neq -7 $$.

Числитель $$ 3(x - 3)^2 $$ всегда неотрицателен. Чтобы вся дробь была $$ ≤ 0 $$, возможны два случая:

Случай 1: Знаменатель положителен, а числитель равен нулю.

$$ x + 7 > 0 \text{ и } 3(x - 3)^2 = 0 $$

$$ x > -7 \text{ и } (x - 3)^2 = 0 $$

$$ x > -7 \text{ и } x = 3 $$

Решением в этом случае является $$ x = 3 $$.

Случай 2: Знаменатель отрицателен, а числитель положителен.

$$ x + 7 < 0 \text{ и } 3(x - 3)^2 > 0 $$

$$ x < -7 \text{ и } (x - 3)^2 > 0 $$

Условие $$ (x - 3)^2 > 0 $$ выполняется для всех $$ x $$, кроме $$ x = 3 $$. Поскольку мы уже имеем $$ x < -7 $$, условие $$ x \neq 3 $$ выполняется автоматически.

Решением в этом случае является $$ x < -7 $$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

$$ x < -7 \text{ или } x = 3 $$

Ответ: $$ (-∞; -7) ∪ \{3\} $$.