Решите неравенство $$ (x^2 + x - 30)(x^2 + x - 12) \le 0 $$

Решение неравенства

Разложим оба квадратных трехчлена на множители.

Первый трехчлен: $$ x^2 + x - 30 $$

Найдем корни $$ x^2 + x - 30 = 0 $$:

$$ D = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121 $$

$$ x_1 = \frac{-1 - \text{sqrt}(121)}{2} = \frac{-1 - 11}{2} = -6 $$

$$ x_2 = \frac{-1 + \text{sqrt}(121)}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = 5 $$

Значит, $$ x^2 + x - 30 = (x + 6)(x - 5) $$.

Второй трехчлен: $$ x^2 + x - 12 $$

Найдем корни $$ x^2 + x - 12 = 0 $$:

$$ D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 $$

$$ x_1 = \frac{-1 - \text{sqrt}(49)}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4 $$

$$ x_2 = \frac{-1 + \text{sqrt}(49)}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 $$

Значит, $$ x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3) $$.

Теперь исходное неравенство выглядит так:

$$ (x + 6)(x - 5)(x + 4)(x - 3) \le 0 $$

Отметим корни на числовой прямой: -6, -4, 3, 5. Эти корни разбивают числовую прямую на 5 интервалов.

Определим знаки произведения на каждом интервале:

• $$ x < -6 $$: Все множители отрицательны. $$ (-)(-) · (-)(-) = (+) $$
• $$ -6 < x < -4 $$: $$ (x+6) $$ положителен, остальные отрицательны. $$ (+)(-) · (-)(-) = (-) $$
• $$ -4 < x < 3 $$: $$ (x+6), (x+4) $$ положительны, остальные отрицательны. $$ (+)(-) · (+)(-) = (+) $$
• $$ 3 < x < 5 $$: $$ (x+6), (x+4), (x-3) $$ положительны, $$ (x-5) $$ отрицателен. $$ (+)(-) · (+)(+) = (-) $$
• $$ x > 5 $$: Все множители положительны. $$ (+)(+) · (+)(+) = (+) $$

Нам нужно, чтобы произведение было $$ ≤ 0 $$. Это соответствует интервалам, где знак минус, и самим корням (так как неравенство нестрогое).

Таким образом, решениями являются:

$$ [-6; -4] ∪ [3; 5] $$

Ответ: $$ [-6; -4] ∪ [3; 5] $$.