Решите неравенство \(\frac{x^2-9x+20}{x-4}\) \(\leq 0\).

Решение:

1. Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения \(x^2 - 9x + 20 = 0\).\[ D = (-9)^2 - 4(1)(20) = 81 - 80 = 1 \]\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{9 \pm 1}{2} \]\[ x_1 = \frac{9+1}{2} = 5 \]\[ x_2 = \frac{9-1}{2} = 4 \]Таким образом, числитель равен \((x-4)(x-5)\).
2. Запишем неравенство в виде:\[ \frac{(x-4)(x-5)}{x-4} \leq 0 \]
3. Сократим \(x-4\), учитывая, что \(x \neq 4\).\[ x-5 \leq 0 \]\[ x \leq 5 \]
4. Учитывая ограничение \(x \neq 4\), получаем:\[ x \leq 5 \text{ и } x \neq 4 \]

Ответ: \(x \in (-\infty; 4) \cup (4; 5]\)