Решите неравенство (x – 1)(3x – 5) < 1.

Решение:

1. Раскроем скобки:\[ 3x^2 - 5x - 3x + 5 < 1 \]\[ 3x^2 - 8x + 5 < 1 \]
2. Перенесем все в одну сторону:\[ 3x^2 - 8x + 5 - 1 < 0 \]\[ 3x^2 - 8x + 4 < 0 \]
3. Найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 - 8x + 4 = 0\). Используем дискриминант:\[ D = (-8)^2 - 4(3)(4) = 64 - 48 = 16 \]\[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{8 \pm 4}{6} \]\[ x_1 = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]\[ x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
4. Так как парабола \(y = 3x^2 - 8x + 4\) ветвями вверх, то неравенство \(3x^2 - 8x + 4 < 0\) выполняется между корнями.

Ответ: \(x \in (\frac{2}{3}; 2)\)