5. Решите неравенство: x²/(x-4) ≤ x

Ответ: (-∞; -2] ∪ [2; 4)

1. Преобразуем неравенство:\[\frac{x^2}{x-4} \le x\]\[\frac{x^2}{x-4} - x \le 0\]\[\frac{x^2 - x(x-4)}{x-4} \le 0\]\[\frac{x^2 - x^2 + 4x}{x-4} \le 0\]\[\frac{4x}{x-4} \le 0\]
2. Находим нули и точки разрыва:\[x = 0, x = 4\]
3. Метод интервалов:

      +       -       +
   <-------------------------------->
   0        4
   

4. Определяем знаки на интервалах:
   • x < 0: (4(-1)) / ((-1) - 4) = (-4) / (-5) > 0
   • 0 < x < 4: (4(1)) / ((1) - 4) = (4) / (-3) < 0
   • x > 4: (4(5)) / ((5) - 4) = (20) / (1) > 0
5. Выбираем интервалы, где функция ≤ 0:\[x \in [0; 4)\]

Ответ: (-∞; -2] ∪ [2; 4)