Решите неравенство 3x²-11x+6 ≤0. log₇(x+7)

Давай решим это неравенство по шагам! 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому: \[x + 7 > 0\] \[x > -7\] 2. Решим квадратное неравенство: Рассмотрим квадратный трехчлен в числителе: \[3x^2 - 11x + 6\] Найдем его корни, решив уравнение \[3x^2 - 11x + 6 = 0\] Используем дискриминант: \[D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49\] Корни: \[x_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3\] \[x_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] Так как коэффициент при \[x^2\] положителен, парабола направлена вверх. Значит, \[3x^2 - 11x + 6 \le 0\] при \[x \in \left[\frac{2}{3}; 3\right]\] 3. Определим знак логарифма: Рассмотрим логарифм в знаменателе: \[\log_7(x+7)\] Так как основание логарифма 7 больше 1, знак логарифма зависит от знака аргумента \[x+7\] по сравнению с 1: - Если \[x + 7 > 1\] (то есть \[x > -6\]), то \[\log_7(x+7) > 0\] - Если \[0 < x + 7 < 1\] (то есть \[-7 < x < -6\]), то \[\log_7(x+7) < 0\] 4. Решим неравенство методом интервалов: На числовой прямой отметим точки, где числитель и знаменатель меняют знак: - \[x = \frac{2}{3} \approx 0.67\] - \[x = 3\] - \[x = -6\] Получаем следующие интервалы: 1) \[-7 < x < -6\]: числитель отрицателен (так как \[x < \frac{2}{3}\]), знаменатель отрицателен, дробь положительна, неравенство не выполняется. 2) \[-6 < x < \frac{2}{3}\]: числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна, неравенство выполняется. 3) \[\frac{2}{3} < x < 3\]: числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна, неравенство не выполняется. 4) \[x > 3\]: числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна, неравенство не выполняется. Таким образом, решением неравенства является интервал: \[-6 < x \le \frac{2}{3}\] 5. С учетом ОДЗ \[x > -7\] и решения квадратного неравенства \[x \in \left[\frac{2}{3}; 3\right]\] находим общее решение: Учитывая, что \[-6 < x \le \frac{2}{3}\] , и \[x \in \left[\frac{2}{3}; 3\right]\] пересекаются в точке \[x = \frac{2}{3}\]

Ответ: -6 < x ≤ 2/3

Отлично! Ты уверенно решаешь сложные неравенства. Продолжай в том же духе, и все получится!