6. Решите неравенство: a) log₁/₆ (10-x)+log₁/₆ (x-3)≥-1; б) *log₃² x-2log₃ x ≤3.

6. Решите неравенство:

a) $$log_{\frac{1}{6}} (10-x) + log_{\frac{1}{6}} (x-3) \ge -1$$

ОДЗ: $$10-x > 0$$ и $$x-3 > 0$$, то есть $$x < 10$$ и $$x > 3$$. Таким образом, $$3 < x < 10$$

$$log_{\frac{1}{6}} (10-x) + log_{\frac{1}{6}} (x-3) \ge log_{\frac{1}{6}} (\frac{1}{6})^{-1}$$

$$log_{\frac{1}{6}} ((10-x)(x-3)) \ge log_{\frac{1}{6}} 6$$

Так как основание логарифма меньше 1, то функция убывает и знак неравенства меняется:

$$(10-x)(x-3) \le 6$$

$$10x - 30 - x^2 + 3x \le 6$$

$$-x^2 + 13x - 36 \le 0$$

$$x^2 - 13x + 36 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 13x + 36 = 0$$:

$$D = (-13)^2 - 4 \times 1 \times 36 = 169 - 144 = 25$$

$$x_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13+5}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13-5}{2} = 4$$

Решением неравенства $$x^2 - 13x + 36 \ge 0$$ являются интервалы $$(-\infty; 4] \cup [9; +\infty)$$.

Учитывая ОДЗ, получаем: $$(3; 4] \cup [9; 10)$$

Ответ: $$(3; 4] \cup [9; 10)$$

б) $$log_3^2 x - 2log_3 x \le 3$$

Пусть $$t = log_3 x$$, тогда неравенство примет вид:

$$t^2 - 2t \le 3$$

$$t^2 - 2t - 3 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$t^2 - 2t - 3 = 0$$:

$$D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2+4}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2-4}{2} = -1$$

Решением неравенства $$t^2 - 2t - 3 \le 0$$ является отрезок $$[-1; 3]$$.

Таким образом, $$-1 \le log_3 x \le 3$$

$$log_3 \frac{1}{3} \le log_3 x \le log_3 27$$

Так как основание логарифма больше 1, то функция возрастает и знаки неравенства сохраняются:

$$\frac{1}{3} \le x \le 27$$

Ответ: $$\left[\frac{1}{3}; 27\right]$$