Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
6. Решите неравенство: a) log₁/₆ (10-x)+log₁/₆ (x-3) ≥ −1; б) *log₃² x - 2log₃ x ≤ 3.
Ответ:
- а) Решим неравенство $$log_{1/6} (10-x) + log_{1/6} (x-3) \ge -1$$.
- ОДЗ:
- $$10 - x > 0$$ и $$x - 3 > 0$$
- $$x < 10$$ и $$x > 3$$
- $$3 < x < 10$$
- Используем свойства логарифмов:
- $$log_{1/6} ((10-x)(x-3)) \ge -1$$
- $$(10-x)(x-3) \le (\frac{1}{6})^{-1}$$
- Т.к. основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется.
- $$(10-x)(x-3) \le 6$$
- $$10x - 30 - x^2 + 3x \le 6$$
- $$-x^2 + 13x - 30 - 6 \le 0$$
- $$-x^2 + 13x - 36 \le 0$$
- $$x^2 - 13x + 36 \ge 0$$
- Решим квадратное уравнение $$x^2 - 13x + 36 = 0$$
- $$D = 13^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$$
- $$x_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
- $$x_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
- $$x \in (-\infty; 4] \cup [9; +\infty)$$
- С учетом ОДЗ получаем: $$x \in (3; 4] \cup [9; 10)$$
- Ответ: (3; 4] ∪ [9; 10)
- б) Решим неравенство $$\log_3^2 x - 2log_3 x \le 3$$
- Пусть $$t = log_3 x$$, тогда
- $$t^2 - 2t \le 3$$
- $$t^2 - 2t - 3 \le 0$$
- Решим квадратное уравнение $$t^2 - 2t - 3 = 0$$
- $$D = (-2)^2 - 4 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$
- $$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
- $$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
- $$-1 \le t \le 3$$
- $$-1 \le log_3 x \le 3$$
- $$3^{-1} \le x \le 3^3$$
- $$\frac{1}{3} \le x \le 27$$
- Также необходимо учесть ОДЗ: $$x > 0$$, что выполняется.
- Ответ: [1/3; 27]
Похожие
