3. Решите неравенство (x-14)² < √8(x-14).

Чтобы решить неравенство $$(x-14)^2 < \sqrt{8(x-14)}$$, обозначим $$y = x - 14$$. Тогда неравенство примет вид:

$$y^2 < \sqrt{8y}$$

Так как квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, имеем условие $$y \ge 0$$. Теперь возведем обе части неравенства в квадрат:

$$(y^2)^2 < (\sqrt{8y})^2$$

$$y^4 < 8y$$

$$y^4 - 8y < 0$$

$$y(y^3 - 8) < 0$$

Рассмотрим два множителя: y и (y³ - 8). Найдем корни выражения (y³ - 8) = 0:

$$y^3 = 8$$

$$y = 2$$

Итак, имеем два значения: y = 0 и y = 2. Рассмотрим промежутки, на которые они делят числовую ось:

1) $$y < 0$$. Но так как $$y \ge 0$$, этот случай не рассматриваем.

2) $$0 < y < 2$$. Выберем y = 1. Тогда: $$1(1^3 - 8) = 1(-7) = -7 < 0$$. Следовательно, этот промежуток является решением.

3) $$y > 2$$. Выберем y = 3. Тогда: $$3(3^3 - 8) = 3(27 - 8) = 3(19) = 57 > 0$$. Следовательно, этот промежуток не является решением.

Таким образом, решением является интервал $$0 < y < 2$$. Вернемся к замене $$y = x - 14$$:

$$0 < x - 14 < 2$$

Прибавим 14 ко всем частям неравенства:

$$14 < x < 16$$

Ответ: (14; 16)