1. Решите уравнение: 3x²-23x + √5-x = √5-x-14

Для решения уравнения $$3x^2-23x + \sqrt{5-x} = \sqrt{5-x}-14$$ сначала упростим его, вычитая $$\sqrt{5-x}$$ из обеих частей:

$$3x^2-23x = -14$$

Далее перенесем -14 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$$3x^2-23x + 14 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 529 - 168 = 361$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня, которые можно найти по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x_1 = \frac{23 + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{23 + 19}{6} = \frac{42}{6} = 7$$

$$x_2 = \frac{23 - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{23 - 19}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Теперь нужно проверить корни, подставив их в исходное уравнение. Оба корня должны удовлетворять условию $$5 - x \ge 0$$, т.е. $$x \le 5$$

Проверим $$x_1 = 7$$: $$7 \le 5$$ - неверно, значит $$x_1 = 7$$ не является решением.

Проверим $$x_2 = \frac{2}{3}$$: $$\frac{2}{3} \le 5$$ - верно.

Подставим $$x_2 = \frac{2}{3}$$ в исходное уравнение:

$$3(\frac{2}{3})^2 - 23(\frac{2}{3}) + \sqrt{5 - \frac{2}{3}} = \sqrt{5 - \frac{2}{3}} - 14$$

$$3(\frac{4}{9}) - \frac{46}{3} + 14 = 0$$

$$\frac{4}{3} - \frac{46}{3} + 14 = 0$$

$$-\frac{42}{3} + 14 = 0$$

$$-14 + 14 = 0$$

$$0 = 0$$

Корень $$x_2 = \frac{2}{3}$$ удовлетворяет уравнению.

Ответ: $$\frac{2}{3}$$