5. Решите неравенство x²+2x+1 x²-4x-5 ≥ 0.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

• Числитель: $$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$$
• Знаменатель: $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$$ $$x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)$$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{(x+1)^2}{(x-5)(x+1)} \ge 0$$

2. Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: $$(x+1)^2 = 0$$ $$x = -1$$
• Знаменатель: $$(x-5)(x+1) = 0$$ $$x = 5, -1$$

3. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

      +           -           +
----(-1)------(5)-------

4. Выберем интервалы, где выражение больше или равно 0. Учитываем, что в точках, где числитель равен нулю, неравенство выполняется, а в точках, где знаменатель равен нулю, неравенство не имеет смысла.

Таким образом, решение неравенства:

$$(-\infty; -1) \cup (-1; 5) \cup (5; +\infty)$$

Но т.к. в точке -1 числитель равен нулю, то x = -1 тоже является решением.

Итоговое решение:

$$(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$$

Ответ: $$(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$$