4. Решите рациональное неравенство x²-2x-3 x+5 ≥ 0.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$
• Знаменатель: $$x + 5 = 0$$ $$x = -5$$

2. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

      -           +           -           +
----(-5)------(-1)------(3)-------

3. Выберем интервалы, где выражение больше или равно 0. Учитываем, что в точках, где числитель равен нулю, неравенство выполняется, а в точках, где знаменатель равен нулю, неравенство не имеет смысла.

Таким образом, решение неравенства:

$$(-5; -1] \cup [3; +\infty)$$

Ответ: $$(-5; -1] \cup [3; +\infty)$$