Решите систему уравнений \[\begin{cases}x^2 + xy = 10, \\ y^2 + xy = 15.\end{cases}\]

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + xy = 10, \\ y^2 + xy = 15.\end{cases}$$

1. Вычтем из второго уравнения первое:
$$ y^2 - x^2 = 5$$ $$ (y - x)(y + x) = 5$$
2. Выразим $$y$$ через $$x$$ из первого уравнения:
$$ x(x+y)=10$$
3. Сложим уравнения системы:
$$ x^2 + xy + y^2 + xy = 25$$ $$ x^2 + 2xy + y^2 = 25$$ $$ (x+y)^2 = 25$$ $$ x+y = \pm 5$$

Получаем две системы:

Случай 1: $$x + y = 5$$, $$x(x+y) = 10$$

$$ \begin{cases}x+y=5, \\ x^2 + xy = 10.\end{cases} $$ $$ \begin{cases}y = 5-x, \\ x^2 + x(5-x) = 10.\end{cases} $$ $$ \begin{cases}y = 5-x, \\ x^2 + 5x - x^2 = 10.\end{cases} $$ $$\begin{cases}y = 5-x, \\ 5x=10.\end{cases} $$ $$\begin{cases}x=2, \\ y = 3.\end{cases} $$

Случай 2: $$x+y = -5$$, $$x(x+y) = 10$$

$$ \begin{cases}x+y=-5, \\ x^2 + xy = 10.\end{cases} $$ $$ \begin{cases}y = -5-x, \\ x^2 + x(-5-x) = 10.\end{cases} $$ $$\begin{cases}y = -5-x, \\ x^2 - 5x - x^2 = 10.\end{cases} $$ $$\begin{cases}y = -5-x, \\ -5x=10.\end{cases} $$ $$\begin{cases}x=-2, \\ y = -3.\end{cases} $$

Ответ: (2; 3), (-2; -3)