Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = -12 \end{cases}$$ Графически.

Решение данной системы уравнений графическим методом требует построения графиков каждого из уравнений на координатной плоскости и определения точек их пересечения. Первое уравнение $$x^2 + y^2 = 25$$ представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Второе уравнение $$xy = -12$$ представляет собой гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвертом квадрантах. При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в четырех точках. Решим систему аналитически, чтобы определить точные координаты точек пересечения, которые затем можно будет проверить на графике: Из второго уравнения выразим $$y = -12/x$$ и подставим в первое уравнение: $$x^2 + (-12/x)^2 = 25$$ $$x^2 + 144/x^2 = 25$$ $$x^4 + 144 = 25x^2$$ $$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$$ Введем замену $$t=x^2$$: $$t^2 - 25t + 144 = 0$$ Решаем квадратное уравнение для t: $$D = (-25)^2 - 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49$$ $$t_1 = (25 + \sqrt{49})/2 = (25+7)/2 = 16$$ $$t_2 = (25 - \sqrt{49})/2 = (25-7)/2 = 9$$ Так как $$t=x^2$$, то $$x^2 = 16$$ или $$x^2=9$$, следовательно $$x=\pm 4$$ или $$x=\pm 3$$. Найдем соответствующие значения y: Если $$x = 4$$, то $$y = -12/4 = -3$$ Если $$x = -4$$, то $$y = -12/-4 = 3$$ Если $$x = 3$$, то $$y = -12/3 = -4$$ Если $$x = -3$$, то $$y = -12/-3 = 4$$ Таким образом, точки пересечения $$(4, -3), (-4, 3), (3, -4), (-3, 4)$$. Эти точки являются решениями исходной системы уравнений. Графическое решение заключается в построении окружности и гиперболы и в определении этих точек. Точки пересечения это и есть графическое решение, которое совпадает с полученным аналитическим решением.