Решите систему уравнений \(\begin{cases} xy - x - y = 29, \\ x^2 + y^2 - x - y = 72. \end{cases}\)

Пошаговое решение:

1. Выразим xy из первого уравнения:
   \[ xy = x + y + 29 \]
2. Возведем в квадрат сумму x + y:
   \[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]
3. Выразим x² + y² из второго уравнения:
   \[ x^2 + y^2 = x + y + 72 \]
4. Подставим в уравнение (x+y)² = x² + 2xy + y²:
   \[ (x+y)^2 = (x+y+72) + 2(x+y+29) \]
   \[ (x+y)^2 = x+y+72 + 2x+2y+58 \]
   \[ (x+y)^2 = 3(x+y) + 130 \]
5. Пусть t = x + y, тогда:
   \[ t^2 - 3t - 130 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение:
   \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529 \]
   \[ t_1 = \frac{3 + \sqrt{529}}{2} = \frac{3+23}{2} = 13 \]
   \[ t_2 = \frac{3 - \sqrt{529}}{2} = \frac{3-23}{2} = -10 \]
7. Рассмотрим случай t = 13: x + y = 13
   xy = 13 + 29 = 42
   y = 13 - x
   x(13 - x) = 42
   13x - x^2 = 42
   x^2 - 13x + 42 = 0
   D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1
   x_1 = (13 + 1) / 2 = 7, y_1 = 13 - 7 = 6
   x_2 = (13 - 1) / 2 = 6, y_2 = 13 - 6 = 7
8. Рассмотрим случай t = -10: x + y = -10
   xy = -10 + 29 = 19
   y = -10 - x
   x(-10 - x) = 19
   -10x - x^2 = 19
   x^2 + 10x + 19 = 0
   D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 100 - 76 = 24
   x_3 = (-10 + \sqrt{24}) / 2 = -5 + \sqrt{6}, y_3 = -5 - \sqrt{6}
   x_4 = (-10 - \sqrt{24}) / 2 = -5 - \sqrt{6}, y_4 = -5 + \sqrt{6}

Ответ: (7; 6), (6; 7), (\(-5 + \sqrt{6}; -5 - \sqrt{6}\)), (\(-5 - \sqrt{6}; -5 + \sqrt{6}\))