20. Решите систему уравнений (x² + y² = 50, xy=7.

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 50 \\ xy = 7 \end{cases} $$

Выразим y из второго уравнения: $$y = \frac{7}{x}$$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$ x^2 + \left(\frac{7}{x}\right)^2 = 50 $$ $$ x^2 + \frac{49}{x^2} = 50 $$

Умножим обе части уравнения на $$x^2$$:

$$ x^4 + 49 = 50x^2 $$ $$ x^4 - 50x^2 + 49 = 0 $$

Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$ t^2 - 50t + 49 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение:

$$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 2500 - 196 = 2304$$ $$\sqrt{D} = 48$$

$$t_1 = \frac{50 + 48}{2} = \frac{98}{2} = 49$$ $$t_2 = \frac{50 - 48}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Теперь найдем значения x:

Если $$t_1 = 49$$, то $$x^2 = 49$$, значит, $$x_1 = 7$$ или $$x_2 = -7$$.

Если $$t_2 = 1$$, то $$x^2 = 1$$, значит, $$x_3 = 1$$ или $$x_4 = -1$$.

Теперь найдем значения y:

Если $$x_1 = 7$$, то $$y_1 = \frac{7}{7} = 1$$.

Если $$x_2 = -7$$, то $$y_2 = \frac{7}{-7} = -1$$.

Если $$x_3 = 1$$, то $$y_3 = \frac{7}{1} = 7$$.

Если $$x_4 = -1$$, то $$y_4 = \frac{7}{-1} = -7$$.

Таким образом, решения системы уравнений:

$$(7, 1), (-7, -1), (1, 7), (-1, -7)$$

Ответ: (7, 1), (-7, -1), (1, 7), (-1, -7)