390. Решите систему уравнений: a) {x² + xy - y² = 11, x - 2y = 1; б) {x² + xy - 3y = 9, 3x + 2y = -1.

a) Решим систему уравнений:

{x² + xy - y² = 11, x - 2y = 1;

Выразим x через y из второго уравнения: x = 2y + 1.

Подставим это выражение в первое уравнение: (2y + 1)² + (2y + 1)y - y² = 11.

4y² + 4y + 1 + 2y² + y - y² = 11.

5y² + 5y + 1 = 11.

5y² + 5y - 10 = 0.

y² + y - 2 = 0.

Решим квадратное уравнение: D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

√D = √9 = 3.

y₁ = (-1 + 3) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1.

y₂ = (-1 - 3) / (2 * 1) = -4 / 2 = -2.

Найдем соответствующие значения x:

Если y = 1, то x = 2 * 1 + 1 = 2 + 1 = 3.

Если y = -2, то x = 2 * (-2) + 1 = -4 + 1 = -3.

Ответ: (3; 1), (-3; -2)

б) Решим систему уравнений:

{x² + xy - 3y = 9, 3x + 2y = -1.

Выразим x через y из второго уравнения: 3x = -2y - 1, x = (-2y - 1) / 3.

Подставим это выражение в первое уравнение: ((-2y - 1) / 3)² + ((-2y - 1) / 3)y - 3y = 9.

(4y² + 4y + 1) / 9 + (-2y² - y) / 3 - 3y = 9.

4y² + 4y + 1 - 6y² - 3y - 27y = 81.

-2y² - 26y - 80 = 0.

y² + 13y + 40 = 0.

Решим квадратное уравнение: D = b² - 4ac = 13² - 4 * 1 * 40 = 169 - 160 = 9.

√D = √9 = 3.

y₁ = (-13 + 3) / (2 * 1) = -10 / 2 = -5.

y₂ = (-13 - 3) / (2 * 1) = -16 / 2 = -8.

Найдем соответствующие значения x:

Если y = -5, то x = (-2 * (-5) - 1) / 3 = (10 - 1) / 3 = 9 / 3 = 3.

Если y = -8, то x = (-2 * (-8) - 1) / 3 = (16 - 1) / 3 = 15 / 3 = 5.

Ответ: (3; -5), (5; -8)