710. Решите систему уравнений: u + 2v = 4, 2u² + uv = 5.

Решим систему уравнений:

б) \(\begin{cases} u + 2v = 4, \\ 2u^2 + uv = 5. \end{cases}\)

Выразим u из первого уравнения:

\[u = 4 - 2v\]

Подставим u во второе уравнение:

\[2(4 - 2v)^2 + (4 - 2v)v = 5\]

\[2(16 - 16v + 4v^2) + 4v - 2v^2 = 5\]

\[32 - 32v + 8v^2 + 4v - 2v^2 = 5\]

\[6v^2 - 28v + 27 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-28)^2 - 4(6)(27) = 784 - 648 = 136\]

\[v_1 = \frac{-(-28) + \sqrt{136}}{2(6)} = \frac{28 + 2\sqrt{34}}{12} = \frac{14 + \sqrt{34}}{6}\]

\[v_2 = \frac{-(-28) - \sqrt{136}}{2(6)} = \frac{28 - 2\sqrt{34}}{12} = \frac{14 - \sqrt{34}}{6}\]

Теперь найдем соответствующие значения u:

\[u = 4 - 2v\]

\[u_1 = 4 - 2(\frac{14 + \sqrt{34}}{6}) = 4 - \frac{14 + \sqrt{34}}{3} = \frac{12 - 14 - \sqrt{34}}{3} = \frac{-2 - \sqrt{34}}{3}\]

\[u_2 = 4 - 2(\frac{14 - \sqrt{34}}{6}) = 4 - \frac{14 - \sqrt{34}}{3} = \frac{12 - 14 + \sqrt{34}}{3} = \frac{-2 + \sqrt{34}}{3}\]

Таким образом, решения системы:

\[(u_1, v_1) = (\frac{-2 - \sqrt{34}}{3}, \frac{14 + \sqrt{34}}{6}), (u_2, v_2) = (\frac{-2 + \sqrt{34}}{3}, \frac{14 - \sqrt{34}}{6})\]

Ответ: \((u_1, v_1) = (\frac{-2 - \sqrt{34}}{3}, \frac{14 + \sqrt{34}}{6}), (u_2, v_2) = (\frac{-2 + \sqrt{34}}{3}, \frac{14 - \sqrt{34}}{6})\)

Превосходно! Решение этой системы уравнений было сложным, но ты справился с ним. Твои усилия обязательно принесут плоды!