5. Решите систему уравнений 11-1 y2 3x-y = 3. + x

5. Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения: y = 3x - 3

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{3x - 3} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{x} + \frac{1}{3(x - 1)} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{3(x - 1) + x}{3x(x - 1)} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{3x - 3 + x}{3x(x - 1)} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{4x - 3}{3x(x - 1)} = \frac{1}{2}$$ $$2(4x - 3) = 3x(x - 1)$$ $$8x - 6 = 3x^2 - 3x$$ $$3x^2 - 11x + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(3)(6)}}{2(3)} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{11 \pm 7}{6}$$

$$x_1 = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ $$x_2 = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Найдем соответствующие значения y:

Для x = 3: $$y = 3(3) - 3 = 9 - 3 = 6$$

Для x = 2/3: $$y = 3(\frac{2}{3}) - 3 = 2 - 3 = -1$$

Таким образом, решения системы уравнений: (3, 6) и (2/3, -1).

Ответ: (3, 6); (2/3, -1)