Решите системы неравенств: а) {x³ < x; 3x² − x > 5 − 15x}; б) {(x + 5)/(x − 7) < 1; (3x + 4)/(4x − 2) > −1}.

а) Разложим первое неравенство на множители: \(x(x-1)(x+1)<0\), поэтому \(x\in(-\infty;-1)\cup(0;1)\).

Второе неравенство приводится к \(3x^2+14x-5>0\). Корни квадратного трёхчлена: \(-5\) и \(\frac13\), поэтому \(x\in(-\infty;-5)\cup(\frac13;+\infty)\). Пересечение решений системных неравенств: \((-\infty;-5)\cup(\frac13;1)\).

Ответ: а) \(x\in(-\infty;-5)\cup(\frac13;1)\).

б) В первом неравенстве область определения требует \(x\ne7\). Перенос единицы влево даёт \(\frac{12}{x-7}<0\), откуда \(x<7\).

Во втором неравенстве \(x\ne\frac12\), а перенос \(-1\) влево даёт \(\frac{7x+2}{4x-2}>0\). Критические точки: \(-\frac27\) и \(\frac12\); решение — \(( -\infty;-\frac27)\cup(\frac12;+\infty)\). С учётом \(x<7\) получаем пересечение \(( -\infty;-\frac27)\cup(\frac12;7)\).

Ответ: б) \(x\in(-\infty;-\frac27)\cup(\frac12;7)\).