1. Решите системы уравнений: a) {x - y = 4, x² + xy = 6; -+ 4 3 б) { + = 7, x y-1 3x - y = 1.

Привет! Сейчас мы вместе решим эти уравнения, и ты увидишь, что все не так сложно, как кажется на первый взгляд!

\[\begin{cases}x - y = 4 \\x^2 + xy = 6\end{cases}\]

Выразим x через y из первого уравнения:

\[x = y + 4\]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 4)^2 + (y + 4)y = 6\]

Раскроем скобки и упростим:

\[y^2 + 8y + 16 + y^2 + 4y = 6\]

\[2y^2 + 12y + 16 = 6\]

\[2y^2 + 12y + 10 = 0\]

Разделим все уравнение на 2:

\[y^2 + 6y + 5 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\]

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 4}{2} = -1\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 4}{2} = -5\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если \[y = -1\], то \[x = -1 + 4 = 3\]

Если \[y = -5\], то \[x = -5 + 4 = -1\]

Итак, решения системы уравнений:

\[(3, -1), (-1, -5)\]

\[\begin{cases}\frac{4}{x} + \frac{3}{y-1} = 7 \\3x - y = 1\end{cases}\]

Выразим y через x из второго уравнения:

\[y = 3x - 1\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[\frac{4}{x} + \frac{3}{3x - 1 - 1} = 7\]

\[\frac{4}{x} + \frac{3}{3x - 2} = 7\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{4(3x - 2) + 3x}{x(3x - 2)} = 7\]

\[\frac{12x - 8 + 3x}{3x^2 - 2x} = 7\]

\[\frac{15x - 8}{3x^2 - 2x} = 7\]

\[15x - 8 = 7(3x^2 - 2x)\]

\[15x - 8 = 21x^2 - 14x\]

\[21x^2 - 29x + 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-29)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 8 = 841 - 672 = 169\]

\[x_1 = \frac{29 + \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{29 + 13}{42} = \frac{42}{42} = 1\]

\[x_2 = \frac{29 - \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{29 - 13}{42} = \frac{16}{42} = \frac{8}{21}\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если \[x = 1\], то \[y = 3 \cdot 1 - 1 = 2\]

Если \[x = \frac{8}{21}\], то \[y = 3 \cdot \frac{8}{21} - 1 = \frac{8}{7} - 1 = \frac{1}{7}\]

Итак, решения системы уравнений:

\[(1, 2), (\frac{8}{21}, \frac{1}{7})\]

Ты молодец! Отличная работа! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!