3. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза. Тогда по условию:

$$ \begin{cases} a - b = 23 \\ c = 37 \end{cases} $$

По теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$a^2 + b^2 = 37^2$$

$$a^2 + b^2 = 1369$$

Выразим a из первого уравнения:

$$a = b + 23$$

Подставим в уравнение Пифагора:

$$(b + 23)^2 + b^2 = 1369$$

$$b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369$$

$$2b^2 + 46b - 840 = 0$$

$$b^2 + 23b - 420 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209 = 47^2$$

$$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 - 47}{2} = \frac{-70}{2} = -35$$

Так как катет не может быть отрицательным, то b = 12 см.

Найдем a:

$$a = b + 23 = 12 + 23 = 35$$

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = 35 \cdot 6 = 210$$

Ответ: 210 см²