Решите тригонометрические уравнения: 5. \(5\sin 2x-14\cos 2x+2=0\).

Положим \(y=2x\). Представим левую часть с помощью формулы синуса разности: \(5\sin y-14\cos y=\sqrt{221}\sin(y-\alpha)\), где \(\cos\alpha=\frac5{\sqrt{221}}\), \(\sin\alpha=\frac{14}{\sqrt{221}}\).

Тогда \(\sin(y-\alpha)=-\frac2{\sqrt{221}}\). Обозначим \(\beta=\arcsin\frac2{\sqrt{221}}\). Решения: \(y-\alpha=-\beta+2\pi k\) или \(y-\alpha=\pi+\beta+2\pi k\).

Так как \(y=2x\), получаем:

Ответ: \(x=\frac{\alpha-\beta}{2}+\pi k\) или \(x=\frac{\alpha+\pi+\beta}{2}+\pi k\), где \(\alpha=\arctan\frac{14}{5}\), \(\beta=\arcsin\frac2{\sqrt{221}}\), \(k\in\mathbb Z\).