Решите уравнение 2·9^{x}+6^{x}-6·4^{x}=0.

Решим уравнение: \[2 \cdot 9^x + 6^x - 6 \cdot 4^x = 0\]

• Разделим обе части уравнения на \(4^x\): \[2 \cdot \frac{9^x}{4^x} + \frac{6^x}{4^x} - 6 = 0\] \[2 \cdot (\frac{9}{4})^x + (\frac{6}{4})^x - 6 = 0\] \[2 \cdot (\frac{3}{2})^{2x} + (\frac{3}{2})^x - 6 = 0\]
• Сделаем замену \(t = (\frac{3}{2})^x\). Тогда уравнение примет вид: \[2t^2 + t - 6 = 0\]
• Решим это квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49\]
• Найдем корни уравнения: \[t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\] \[t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2\]
• Вернемся к замене \(t = (\frac{3}{2})^x\). Получим два уравнения: \[(\frac{3}{2})^x = \frac{3}{2}\] \[(\frac{3}{2})^x = -2\]
• Решим первое уравнение: \[(\frac{3}{2})^x = \frac{3}{2} = (\frac{3}{2})^1\] \[x = 1\]
• Второе уравнение не имеет решений, так как показательная функция не может быть отрицательной.