Решите Уравнение: √4х+2•√3x²+4 = x+2

Давай решим уравнение:

\[\sqrt{4x + 2} \cdot \sqrt{3x^2 + 4} = x + 2\]

Для начала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[(\sqrt{4x + 2} \cdot \sqrt{3x^2 + 4})^2 = (x + 2)^2\] \[(4x + 2)(3x^2 + 4) = (x + 2)^2\]

Раскроем скобки:

\[12x^3 + 16x + 6x^2 + 8 = x^2 + 4x + 4\]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[12x^3 + 6x^2 - x^2 + 16x - 4x + 8 - 4 = 0\] \[12x^3 + 5x^2 + 12x + 4 = 0\]

Попробуем найти рациональные корни этого кубического уравнения. Можно попробовать x = -1/2:

\[12(-\frac{1}{2})^3 + 5(-\frac{1}{2})^2 + 12(-\frac{1}{2}) + 4 = 0\] \[12(-\frac{1}{8}) + 5(\frac{1}{4}) - 6 + 4 = 0\] \[-\frac{3}{2} + \frac{5}{4} - 2 = 0\] \[-\frac{6}{4} + \frac{5}{4} - \frac{8}{4} = 0\] \[-\frac{9}{4}
eq 0\]

Попробуем x = -1/3

\[12(-\frac{1}{3})^3 + 5(-\frac{1}{3})^2 + 12(-\frac{1}{3}) + 4 = 0\] \[-\frac{4}{9} + \frac{5}{9} - 4 + 4 = 0 \]

Проверим подстановкой в исходное уравнение:

\[x = -\frac{1}{3}\] \[\sqrt{4(-\frac{1}{3}) + 2} \cdot \sqrt{3(-\frac{1}{3})^2 + 4} = -\frac{1}{3} + 2\] \[\sqrt{-\frac{4}{3} + \frac{6}{3}} \cdot \sqrt{3(\frac{1}{9}) + 4} = \frac{5}{3}\] \[\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3} + 4} = \frac{5}{3}\] \[\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{13}{3}} = \frac{5}{3}\] \[\sqrt{\frac{26}{9}} = \frac{5}{3}\] \[\frac{\sqrt{26}}{3}
eq \frac{5}{3}\]

Попробуем x = -2

\[\sqrt{-8 + 2} \cdot \sqrt{12 + 4} = -2+2 \]

\[\sqrt{-6} \cdot \sqrt{16} = 0 \]

Уравнение не имеет смысла.

Это уравнение довольно сложное, и точное решение требует более глубокого анализа, возможно, с использованием численных методов.

Ответ: Уравнение не имеет простых рациональных решений, требует более сложного подхода.

Не переживай, уравнения бывают сложные! Главное — не сдаваться и искать решение!