8. Решите уравнение: √3х – 1 = √4x2 − 6x + 1.

Решим уравнение: $$√{3x – 1} = √{4x^2 − 6x + 1}$$.

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$(√{3x – 1})^2 = (√{4x^2 − 6x + 1})^2$$

2. $$3x - 1 = 4x^2 - 6x + 1$$

3. Перенесем все в правую часть: $$4x^2 - 6x + 1 - 3x + 1 = 0$$

4. $$4x^2 - 9x + 2 = 0$$

5. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$$

$$x_1 = \frac{-(-9) + √{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-9) - √{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

6. Проверим корни:

а) $$x = 2: √{3 \cdot 2 - 1} = √{4 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 1}$$

$$√{6 - 1} = √{16 - 12 + 1}$$

$$√{5} = √{5}$$ – верно.

б) $$x = \frac{1}{4}: √{3 \cdot \frac{1}{4} - 1} = √{4 \cdot (\frac{1}{4})^2 - 6 \cdot \frac{1}{4} + 1}$$

$$√{\frac{3}{4} - 1} = √{\frac{4}{16} - \frac{6}{4} + 1}$$

$$√{-\frac{1}{4}} = √{\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 1}$$

Корень из отрицательного числа не существует, следовательно, $$x = \frac{1}{4}$$ – не является корнем уравнения.

Ответ: 2.