Решите уравнение: 100_{n+3} + 100_n = 29_{10}. Приведите полное решение.

Решение:

1. Перевод в десятичную систему:
   • $$100_{n+3} = 1 imes (n+3)^2 + 0 imes (n+3)^1 + 0 imes (n+3)^0 = (n+3)^2$$
   • $$100_n = 1 imes n^2 + 0 imes n^1 + 0 imes n^0 = n^2$$
2. Составление уравнения:
   • $$(n+3)^2 + n^2 = 29$$
3. Решение квадратного уравнения:
   • $$n^2 + 6n + 9 + n^2 = 29$$
   • $$2n^2 + 6n + 9 - 29 = 0$$
   • $$2n^2 + 6n - 20 = 0$$
   • $$n^2 + 3n - 10 = 0$$
4. Нахождение корней:
   • Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49$$
   • $$n_1 = rac{-b + ext{sqrt}(D)}{2a} = rac{-3 + 7}{2} = rac{4}{2} = 2$$
   • $$n_2 = rac{-b - ext{sqrt}(D)}{2a} = rac{-3 - 7}{2} = rac{-10}{2} = -5$$
5. Выбор основания системы счисления: Так как основание системы счисления должно быть положительным целым числом, выбираем $$n=2$$.

Ответ: n = 2