Значение арифметического выражения $$343^7 + 7^{14} - 7$$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи? Приведите полное решение.

Решение:

1. Представление чисел в основании 7:
   • $$343 = 7^3$$, следовательно, $$343^7 = (7^3)^7 = 7^{21}$$
   • $$7^{14}$$ остается $$7^{14}$$
2. Преобразование выражения:
   • $$7^{21} + 7^{14} - 7$$
3. Анализ числа $$7^{21}$$ в основании 7:
   • $$7^{21}$$ в системе счисления с основанием 7 будет выглядеть как единица с 21 нулем: $$100...00_7$$ (всего 22 цифры).
4. Анализ числа $$7^{14}$$ в основании 7:
   • $$7^{14}$$ в системе счисления с основанием 7 будет выглядеть как единица с 14 нулями: $$100...00_7$$ (всего 15 цифр).
5. Вычитание 7:
   • $$7^{14} - 7$$ в основании 7: $$100...00_7 - 10_7$$.
   • При вычитании $$10...0_7 - 10_7$$, мы получим число, состоящее из цифр 6.
   • $$7^1 = 10_7$$, $$7^2 = 100_7$$.
   • $$7^{14} - 7^1 = (7^{13} imes 7) - 7 = (7^{13}-1) imes 7 = (66...6_7) imes 7 = 66...660_7$$ (13 шестерок и 0).
6. Сложение $$7^{21}$$ и $$7^{14} - 7$$:
   • $$7^{21} + (7^{14} - 7) = 100...00_7$$ (21 ноль) $$+ 66...660_7$$ (13 шестерок).
   • Сложение этих чисел даст: $$100...066...660_7$$.
   • Количество нулей перед шестерками будет $$21 - 15 = 6$$.
   • Итак, число будет иметь вид: $$1 extbf{000000} extbf{6666666666666} 0_7$$.
   • Цифр 6 в этом числе 13.

Ответ: 13