Решите уравнение \( 6\sin^2 x + 15 \sin(\frac{3\pi}{2} + x) - 12 = 0 \).

Решение:

Используем тригонометрическое тождество: \( \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x \).

Подставим это в уравнение:

\[ 6\sin^2 x + 15(-\cos x) - 12 = 0 \]

\[ 6\sin^2 x - 15\cos x - 12 = 0 \]

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

\[ 6(1 - \cos^2 x) - 15\cos x - 12 = 0 \]

\[ 6 - 6\cos^2 x - 15\cos x - 12 = 0 \]

\[ -6\cos^2 x - 15\cos x - 6 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 6\cos^2 x + 15\cos x + 6 = 0 \]

Разделим на 3:

\[ 2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 + 5t + 2 = 0 \]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \]

Корни \(t\):

\[ t_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \cos x \).

Первый случай: \( \cos x = -\frac{1}{2} \)

Решениями этого уравнения являются \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \) и \( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \), где \(n\) — любое целое число.

Второй случай: \( \cos x = -2 \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса всегда находится в диапазоне \( [-1; 1] \).

Ответ: \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \), где \(n \(\in\) \(\mathbb{Z}\).