Задание 14. Решите уравнение \( 6\log_8^2 x - 5\log_8 x + 1 = 0 \).

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \log_8 x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 6t^2 - 5t + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \]

Корни \(t\):

\[ t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \log_8 x \).

Первый случай: \( \log_8 x = \frac{1}{2} \)

По определению логарифма, \( x = 8^{1/2} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \).

Второй случай: \( \log_8 x = \frac{1}{3} \)

По определению логарифма, \( x = 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \).

Оба значения \(x\) положительны, поэтому являются решениями.

Ответ: \( x = 2\sqrt{2}, x = 2 \).