221. Решите уравнение, используя введение новой переменной: a) (2x² + 3)² - 12(2x² + 3) + 11 = 0; б) (t² - 2t)² - 3 = 2(t² - 2t); в) (x² + x - 1)(x² + x + 2) = 40; г) (2x² + х - 1)(2x² + x - 4) + 2 = 0.

Это задание по алгебре, необходимо решить уравнения, используя введение новой переменной.

1. a) (2x² + 3)² - 12(2x² + 3) + 11 = 0

Пусть $$t = 2x^2 + 3$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 12t + 11 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$$

$$t_1 = \frac{12 + \sqrt{100}}{2} = \frac{12 + 10}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

$$t_2 = \frac{12 - \sqrt{100}}{2} = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Вернемся к переменной x:

$$2x^2 + 3 = 11$$ или $$2x^2 + 3 = 1$$

Решим уравнение $$2x^2 + 3 = 11$$:

$$2x^2 = 11 - 3 = 8$$

$$x^2 = \frac{8}{2} = 4$$

$$x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$$

Решим уравнение $$2x^2 + 3 = 1$$:

$$2x^2 = 1 - 3 = -2$$

$$x^2 = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то уравнение не имеет решений.

Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -2$$

2. б) (t² - 2t)² - 3 = 2(t² - 2t)

Пусть $$x = t^2 - 2t$$, тогда уравнение примет вид: $$x^2 - 3 = 2x$$

Перенесем все в одну сторону: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Вернемся к переменной t:

$$t^2 - 2t = 3$$ или $$t^2 - 2t = -1$$

Решим уравнение $$t^2 - 2t = 3$$:

$$t^2 - 2t - 3 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Решим уравнение $$t^2 - 2t = -1$$:

$$t^2 - 2t + 1 = 0$$

$$(t - 1)^2 = 0$$

$$t = 1$$

Ответ: $$t_1 = 3, t_2 = -1, t_3 = 1$$

3. в) (x² + x - 1)(x² + x + 2) = 40

Пусть $$t = x^2 + x$$, тогда уравнение примет вид: $$(t - 1)(t + 2) = 40$$

Раскроем скобки: $$t^2 + 2t - t - 2 = 40$$

$$t^2 + t - 2 = 40$$

Перенесем все в одну сторону: $$t^2 + t - 42 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$

$$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Вернемся к переменной x:

$$x^2 + x = 6$$ или $$x^2 + x = -7$$

Решим уравнение $$x^2 + x = 6$$:

$$x^2 + x - 6 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Решим уравнение $$x^2 + x = -7$$:

$$x^2 + x + 7 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$$

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений.

Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -3$$

4. г) (2x² + х - 1)(2x² + x - 4) + 2 = 0

Пусть $$t = 2x^2 + x$$, тогда уравнение примет вид: $$(t - 1)(t - 4) + 2 = 0$$

Раскроем скобки: $$t^2 - 4t - t + 4 + 2 = 0$$

$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Вернемся к переменной x:

$$2x^2 + x = 3$$ или $$2x^2 + x = 2$$

Решим уравнение $$2x^2 + x = 3$$:

$$2x^2 + x - 3 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$$

Решим уравнение $$2x^2 + x = 2$$:

$$2x^2 + x - 2 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$$

$$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$$

$$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$$

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -1.5, x_3 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}, x_4 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$$