217. Решите уравнение: a) y³ - 6y = 0; б) 6x⁴ + 3,6x² = 0; в) x³ + 3x = 3,5x²; г) х³ - 0,1x = 0,3x²; д) 9х³ - 18х² - x + 2 = 0; е) y⁴ - y³ - 16y² + 16y = 0; ж) р³ - р² = p - 1; з) x⁴ - x² = 3x³ - 3x.

Это задание по алгебре, необходимо решить уравнения.

1. a) y³ - 6y = 0

Вынесем y за скобки: $$y(y^2 - 6) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$y = 0$$ или $$y^2 - 6 = 0$$

Решим уравнение $$y^2 - 6 = 0$$:

$$y^2 = 6$$

$$y = \pm\sqrt{6}$$

Ответ: $$y_1 = 0, y_2 = \sqrt{6}, y_3 = -\sqrt{6}$$

2. б) 6x⁴ + 3,6x² = 0

Вынесем общий множитель $$x^2$$ за скобки: $$x^2(6x^2 + 3.6) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x^2 = 0$$ или $$6x^2 + 3.6 = 0$$

Решим уравнение $$6x^2 + 3.6 = 0$$:

$$6x^2 = -3.6$$

$$x^2 = -\frac{3.6}{6} = -0.6$$

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то уравнение не имеет решений.

Ответ: $$x = 0$$

3. в) x³ + 3x = 3,5x²

Перенесем все в одну сторону: $$x^3 - 3.5x^2 + 3x = 0$$

Вынесем x за скобки: $$x(x^2 - 3.5x + 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x = 0$$ или $$x^2 - 3.5x + 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 3.5x + 3 = 0$$:

Найдем дискриминант: $$D = (-3.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12.25 - 12 = 0.25$$

$$x_1 = \frac{3.5 + \sqrt{0.25}}{2} = \frac{3.5 + 0.5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{3.5 - \sqrt{0.25}}{2} = \frac{3.5 - 0.5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = 1.5$$

4. г) х³ - 0,1x = 0,3x²

Перенесем все в одну сторону: $$x^3 - 0.3x^2 - 0.1x = 0$$

Вынесем x за скобки: $$x(x^2 - 0.3x - 0.1) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x = 0$$ или $$x^2 - 0.3x - 0.1 = 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 0.3x - 0.1 = 0$$:

$$D = (-0.3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.1) = 0.09 + 0.4 = 0.49$$

$$x_1 = \frac{0.3 + \sqrt{0.49}}{2} = \frac{0.3 + 0.7}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$$

$$x_2 = \frac{0.3 - \sqrt{0.49}}{2} = \frac{0.3 - 0.7}{2} = \frac{-0.4}{2} = -0.2$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 0.5, x_3 = -0.2$$

5. д) 9х³ - 18х² - x + 2 = 0

Сгруппируем члены: $$(9x^3 - 18x^2) + (-x + 2) = 0$$

Вынесем общий множитель в каждой группе: $$9x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$$

Вынесем общий множитель (x - 2) за скобки: $$(x - 2)(9x^2 - 1) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x - 2 = 0$$ или $$9x^2 - 1 = 0$$

Решим уравнение $$x - 2 = 0$$:

$$x = 2$$

Решим уравнение $$9x^2 - 1 = 0$$:

$$9x^2 = 1$$

$$x^2 = \frac{1}{9}$$

$$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$$

Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{3}, x_3 = -\frac{1}{3}$$

6. e) y⁴ - y³ - 16y² + 16y = 0

Вынесем y за скобки: $$y(y^3 - y^2 - 16y + 16) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$y = 0$$ или $$y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$$

Решим уравнение $$y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$$:

Сгруппируем члены: $$(y^3 - y^2) + (-16y + 16) = 0$$

Вынесем общий множитель в каждой группе: $$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$$

Вынесем общий множитель (y - 1) за скобки: $$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$y - 1 = 0$$ или $$y^2 - 16 = 0$$

Решим уравнение $$y - 1 = 0$$:

$$y = 1$$

Решим уравнение $$y^2 - 16 = 0$$:

$$y^2 = 16$$

$$y = \pm\sqrt{16} = \pm 4$$

Ответ: $$y_1 = 0, y_2 = 1, y_3 = 4, y_4 = -4$$

7. ж) р³ - р² = p - 1

Перенесем все в одну сторону: $$p^3 - p^2 - p + 1 = 0$$

Сгруппируем члены: $$(p^3 - p^2) + (-p + 1) = 0$$

Вынесем общий множитель в каждой группе: $$p^2(p - 1) - 1(p - 1) = 0$$

Вынесем общий множитель (p - 1) за скобки: $$(p - 1)(p^2 - 1) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$p - 1 = 0$$ или $$p^2 - 1 = 0$$

Решим уравнение $$p - 1 = 0$$:

$$p = 1$$

Решим уравнение $$p^2 - 1 = 0$$:

$$p^2 = 1$$

$$p = \pm\sqrt{1} = \pm 1$$

Ответ: $$p_1 = 1, p_2 = 1, p_3 = -1$$ (p = 1 - корень кратности 2)

8. з) x⁴ - x² = 3x³ - 3x

Перенесем все в одну сторону: $$x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$$

Сгруппируем члены: $$(x^4 - 3x^3) + (-x^2 + 3x) = 0$$

Вынесем общий множитель в каждой группе: $$x^3(x - 3) - x(x - 3) = 0$$

Вынесем общий множитель (x - 3) за скобки: $$(x - 3)(x^3 - x) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x - 3 = 0$$ или $$x^3 - x = 0$$

Решим уравнение $$x - 3 = 0$$:

$$x = 3$$

Решим уравнение $$x^3 - x = 0$$:

Вынесем x за скобки: $$x(x^2 - 1) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x = 0$$ или $$x^2 - 1 = 0$$

Решим уравнение $$x^2 - 1 = 0$$:

$$x^2 = 1$$

$$x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$$

Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = 0, x_3 = 1, x_4 = -1$$