7. Решите уравнение log₂(x²+7x) = 3.

7. Решите уравнение $$\log_2 (x^2 + 7x) = 3$$.

Решение:

1. По определению логарифма: $$x^2 + 7x = 2^3$$.
2. $$x^2 + 7x = 8$$.
3. $$x^2 + 7x - 8 = 0$$.

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$.

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

1. $$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = 1$$.
2. $$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = -8$$.

Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

1. $$\log_2 (1^2 + 7 \cdot 1) = \log_2 (1 + 7) = \log_2 8 = 3$$. $$3 = 3$$, значит, $$x = 1$$ - корень уравнения.
2. $$\log_2 ((-8)^2 + 7 \cdot (-8)) = \log_2 (64 - 56) = \log_2 8 = 3$$. $$3 = 3$$, значит, $$x = -8$$ - корень уравнения.

Ответ: -8; 1