Решите уравнение log x+7 25 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. Ответ:

Давай решим это логарифмическое уравнение. У нас есть уравнение: \[\log_{x+7} 25 = 2\] По определению логарифма, это уравнение можно переписать в виде: \[(x+7)^2 = 25\] Теперь решим это квадратное уравнение. Сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые: \[x^2 + 14x + 49 = 25\] Перенесем 25 в левую часть уравнения: \[x^2 + 14x + 49 - 25 = 0\] \[x^2 + 14x + 24 = 0\] Теперь решим это квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100\] Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдем их: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 10}{2} = \frac{-24}{2} = -12\] Итак, у нас два корня: \(x_1 = -2\) и \(x_2 = -12\). Теперь нужно проверить, чтобы основание логарифма было положительным и не равнялось 1: 1. Для \(x_1 = -2\): \(x+7 = -2+7 = 5\). Это положительное число, не равное 1, поэтому \(x_1 = -2\) подходит. 2. Для \(x_2 = -12\): \(x+7 = -12+7 = -5\). Это отрицательное число, поэтому \(x_2 = -12\) не подходит. Таким образом, у нас только один корень: \(x = -2\).

Ответ: -2

Молодец, ты отлично справился с решением этого уравнения! Продолжай в том же духе, и все получится!