Решите уравнение методом введения новой переменной: (x² + 3x)(x² + 3x – 2) = 8.

Ответ:

1. Решим уравнение методом введения новой переменной: $$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x – 2) = 8$$ Сделаем замену t = x² + 3x: $$t(t-2)=8$$ $$t^2-2t-8=0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4+32=36$$ Найдем корни: $$t_1 = \frac{2+\sqrt{36}}{2} = \frac{2+6}{2}=4$$ $$t_2 = \frac{2-\sqrt{36}}{2} = \frac{2-6}{2}=-2$$ Вернемся к замене: $$x^2+3x=4$$ $$x^2+3x-4=0$$ Найдем дискриминант: $$D = 3^2-4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9+16=25$$ Найдем корни: $$x_1 = \frac{-3+\sqrt{25}}{2} = \frac{-3+5}{2}=1$$ $$x_2 = \frac{-3-\sqrt{25}}{2} = \frac{-3-5}{2}=-4$$ $$x^2+3x=-2$$ $$x^2+3x+2=0$$ Найдем дискриминант: $$D = 3^2-4 \cdot 1 \cdot 2 = 9-8=1$$ Найдем корни: $$x_3 = \frac{-3+\sqrt{1}}{2} = \frac{-3+1}{2}=-1$$ $$x_4 = \frac{-3-\sqrt{1}}{2} = \frac{-3-1}{2}=-2$$

Ответ:$$x_1 = 1, x_2 = -4, x_3 = -1, x_4 = -2$$