Решите уравнение sinx = √2/2

Решение:

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Общее решение уравнения \( \sin x = a \) имеет вид:

\[ x = (-1)^n \arcsin a + \pi n \]

В данном случае \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).

Следовательно, общее решение:

\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Это можно представить как два случая:

1. Если \( n \) — чётное число ( \( n = 2k \) ), то \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \).


2. Если \( n \) — нечётное число ( \( n = 2k + 1 \) ), то \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.