Вычислите определенный интеграл ∫⁴_₁ (4x³-2x+3)dx

Решение:

Сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = 4x^3 - 2x + 3 \).

Первообразная \( F(x) = \int (4x^3 - 2x + 3) dx = 4 \frac{x^4}{4} - 2 \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^4 - x^2 + 3x + C \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_1^4 (4x^3 - 2x + 3) dx = [x^4 - x^2 + 3x]_1^4 \)

1. Вычислим значение первообразной в верхнем пределе \( x = 4 \):



\( F(4) = 4^4 - 4^2 + 3 \cdot 4 = 256 - 16 + 12 = 252 \).



2. Вычислим значение первообразной в нижнем пределе \( x = 1 \):



\( F(1) = 1^4 - 1^2 + 3 \cdot 1 = 1 - 1 + 3 = 3 \).



3. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе:



\( 252 - 3 = 249 \).

Ответ: 249.