Решите уравнение: 1) x⁴+2x²-8= 0; 2) \frac{x²+7x}{x+8} = \frac{8}{x+8}.

Ответ: 1) x = ±√2; 2) x = 1

Решение:

1) x⁴ + 2x² - 8 = 0

Пусть t = x², тогда уравнение примет вид: t² + 2t - 8 = 0

Решаем квадратное уравнение относительно t. Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 2, c = -8.

D = 2² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

t₁ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √36) / (2 * 1) = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2

t₂ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √36) / (2 * 1) = (-2 - 6) / 2 = -8 / 2 = -4

Возвращаемся к замене: x² = t

• x² = 2 => x = ±√2
• x² = -4 => нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным

2) \(\frac{x^2 + 7x}{x + 8} = \frac{8}{x + 8}\)

Умножаем обе части уравнения на (x + 8) при условии x ≠ -8:

x² + 7x = 8

Переносим все члены в левую часть:

x² + 7x - 8 = 0

Находим дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 7, c = -8.

D = 7² - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-7 + √81) / (2 * 1) = (-7 + 9) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-7 - √81) / (2 * 1) = (-7 - 9) / 2 = -16 / 2 = -8

Так как x ≠ -8, то x = -8 не является решением.

Остается единственный корень: x = 1

Ответ: 1) x = ±√2; 2) x = 1