7. Решите уравнение: 25x – 4⋅5x − 5 = 0.

Ответ: x = 1

1. Запишем уравнение: \[25^x - 4 \cdot 5^x - 5 = 0\]
2. Преобразуем уравнение, используя свойство степеней: \[(5^2)^x - 4 \cdot 5^x - 5 = 0\] \[(5^x)^2 - 4 \cdot 5^x - 5 = 0\]
3. Введем замену переменной: \[t = 5^x\] Тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 4t - 5 = 0\]
4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\]
5. Вычислим корни: \[t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
6. Вернемся к исходной переменной: Для \[t_1 = 5\] : \[5^x = 5\] \[x = 1\] Для \[t_2 = -1\] : \[5^x = -1\] Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.

Ответ: x = 1