Решите уравнение x²-3x+√5-x = √5-x+18.

Решение:

Дано уравнение: \( x^2 - 3x + \sqrt{5-x} = \sqrt{5-x} + 18 \)

Для начала, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

\( 5 - x \ge 0 \)

\( x \le 5 \)

Теперь упростим уравнение, вычитая \( \sqrt{5-x} \) из обеих частей:

\( x^2 - 3x = 18 \)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 3x - 18 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \)

Теперь найдем корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ (\( x \le 5 \)).

• Корень \( x_1 = 6 \) не удовлетворяет ОДЗ, так как \( 6 > 5 \).
• Корень \( x_2 = -3 \) удовлетворяет ОДЗ, так как \( -3 \le 5 \).

Следовательно, единственным решением уравнения является \( x = -3 \).

Ответ: -3