Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Решите уравнение: x³ = x² - 7x + 7Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение:

Для решения данного кубического уравнения, мы перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение вида P(x) = 0, затем найдем целочисленные корни с помощью теоремы о корнях многочлена, и далее разложим многочлен на множители.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид кубического уравнения:
    \( x^3 - x^2 + 7x - 7 = 0 \)
  2. Шаг 2: Попробуем найти целочисленные корни уравнения. По теореме о рациональных корнях, возможные целочисленные корни являются делителями свободного члена (-7). Это числа: \( ±1, ±7 \). Проверим их:
    При \( x=1 \): \( 1^3 - 1^2 + 7(1) - 7 = 1 - 1 + 7 - 7 = 0 \). Значит, \( x=1 \) — корень уравнения.
  3. Шаг 3: Так как \( x=1 \) является корнем, то многочлен \( x^3 - x^2 + 7x - 7 \) делится на \( (x - 1) \) без остатка. Выполним деление многочленов столбиком или по схеме Горнера.
    \( (x^3 - x^2 + 7x - 7) : (x - 1) = x^2 + 7 \)
  4. Шаг 4: Теперь у нас есть уравнение в виде произведения:
    \( (x - 1)(x^2 + 7) = 0 \)
  5. Шаг 5: Решим полученное уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
    \( x - 1 = 0 \) или \( x^2 + 7 = 0 \)
  6. Шаг 6: Решаем первое уравнение:
    \( x - 1 = 0 → x = 1 \)
  7. Шаг 7: Решаем второе уравнение:
    \( x^2 + 7 = 0 → x^2 = -7 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x = 1