Решите уравнение x² + y² + 4x - 8y + 20 = 0.

Решение:

Приведём уравнение к виду \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \), выделив полные квадраты для \( x \) и \( y \).

Сгруппируем члены с \( x \) и \( y \):

\( (x^2 + 4x) + (y^2 - 8y) + 20 = 0 \)

Для \( x^2 + 4x \) добавим и вычтем \( (4/2)^2 = 2^2 = 4 \):

\( (x^2 + 4x + 4) - 4 \)

Для \( y^2 - 8y \) добавим и вычтем \( (-8/2)^2 = (-4)^2 = 16 \):

\( (y^2 - 8y + 16) - 16 \)

Подставим обратно в уравнение:

\( (x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 20 = 0 \)

Запишем полные квадраты:

\( (x+2)^2 - 4 + (y-4)^2 - 16 + 20 = 0 \)

Объединим константы:

\( (x+2)^2 + (y-4)^2 - 4 - 16 + 20 = 0 \)

\( (x+2)^2 + (y-4)^2 + 0 = 0 \)

\( (x+2)^2 + (y-4)^2 = 0 \)

Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.

\( (x+2)^2 = 0 \) => \( x+2 = 0 \) => \( x = -2 \)

\( (y-4)^2 = 0 \) => \( y-4 = 0 \) => \( y = 4 \)

Ответ: \( x = -2, y = 4 \).