Решите уравнение x² + y² – 8x + 2y + 17 = 0.

Решение:

Приведём уравнение к виду \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \), чтобы определить, имеет ли оно решения.

Сгруппируем члены, содержащие \( x \), и члены, содержащие \( y \):

\( (x^2 - 8x) + (y^2 + 2y) + 17 = 0 \)

Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для \( x^2 - 8x \) добавим \( (-8/2)^2 = (-4)^2 = 16 \).

Для \( y^2 + 2y \) добавим \( (2/2)^2 = 1^2 = 1 \).

Чтобы уравнение осталось верным, мы должны вычесть добавленные значения:

\( (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) + 17 - 16 - 1 = 0 \)

Теперь свернём полные квадраты:

\( (x - 4)^2 + (y + 1)^2 + 0 = 0 \)

\( (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 0 \)

Сумма квадратов двух действительных чисел может быть равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Это означает:

\( x - 4 = 0 \) и \( y + 1 = 0 \)

Отсюда получаем:

\( x = 4 \)

\( y = -1 \)

Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: \( x = 4, y = -1 \).