541. Решите уравнение: а) 25 = 26x – x²; б) 3t2 = 10 – 29t; в) у² = 4y + 96; г) 3р² + 3 = 10p; д) х² – 20x = 20x + 100; е) 25x² – 13x = 10x² – 7.

a) Решим уравнение $$25 = 26x - x^2$$. Приведем к стандартному виду: $$x^2 - 26x + 25 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$$.

Найдем корни: $$x_1 = \frac{26 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$$; $$x_2 = \frac{26 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$$.

б) Решим уравнение $$3t^2 = 10 - 29t$$. Приведем к стандартному виду: $$3t^2 + 29t - 10 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = 29^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961$$.

Найдем корни: $$t_1 = \frac{-29 + \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{-29 + 31}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$; $$t_2 = \frac{-29 - \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{-29 - 31}{6} = \frac{-60}{6} = -10$$.

в) Решим уравнение $$y^2 = 4y + 96$$. Приведем к стандартному виду: $$y^2 - 4y - 96 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$$.

Найдем корни: $$y_1 = \frac{4 + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$$; $$y_2 = \frac{4 - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$.

г) Решим уравнение $$3p^2 + 3 = 10p$$. Приведем к стандартному виду: $$3p^2 - 10p + 3 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$.

Найдем корни: $$p_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$; $$p_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.

д) Решим уравнение $$x^2 - 20x = 20x + 100$$. Приведем к стандартному виду: $$x^2 - 40x - 100 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 1600 + 400 = 2000$$.

Найдем корни: $$x_1 = \frac{40 + \sqrt{2000}}{2 \cdot 1} = \frac{40 + 20\sqrt{5}}{2} = 20 + 10\sqrt{5}$$; $$x_2 = \frac{40 - \sqrt{2000}}{2 \cdot 1} = \frac{40 - 20\sqrt{5}}{2} = 20 - 10\sqrt{5}$$.

е) Решим уравнение $$25x^2 - 13x = 10x^2 - 7$$. Приведем к стандартному виду: $$15x^2 - 13x + 7 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 7 = 169 - 420 = -251$$. Так как дискриминант меньше нуля, корней нет.

Ответ: а) $$x_1 = 25$$, $$x_2 = 1$$; б) $$t_1 = \frac{1}{3}$$, $$t_2 = -10$$; в) $$y_1 = 12$$, $$y_2 = -8$$; г) $$p_1 = 3$$, $$p_2 = \frac{1}{3}$$; д) $$x_1 = 20 + 10\sqrt{5}$$, $$x_2 = 20 - 10\sqrt{5}$$; e) корней нет.