533. Решите уравнение: a) 14x² - 5x - 1 = 0; б) -y² + 3y + 5 = 0; в) 2x² + x + 67 = 0; г) 1 - 18р + 81p² = 0; д) -11y + y² - 152 = 0; e) 18 + 3x² - x = 0.

Решим уравнение вида ax² + bx + c = 0, используя формулу корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$, где D = b² - 4ac - дискриминант.

a) 14x² - 5x - 1 = 0

a = 14, b = -5, c = -1

D = (-5)² - 4 × 14 × (-1) = 25 + 56 = 81

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 14} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 14} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$$

б) -y² + 3y + 5 = 0

a = -1, b = 3, c = 5

D = (3)² - 4 × (-1) × 5 = 9 + 20 = 29

$$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 + \sqrt{29}}{-2} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$$

$$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 - \sqrt{29}}{-2} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$$

в) 2x² + x + 67 = 0

a = 2, b = 1, c = 67

D = (1)² - 4 × 2 × 67 = 1 - 536 = -535

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет вещественных корней.

г) 1 - 18р + 81p² = 0

Перепишем уравнение в виде 81p² - 18p + 1 = 0

a = 81, b = -18, c = 1

D = (-18)² - 4 × 81 × 1 = 324 - 324 = 0

$$p = \frac{18}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$$

д) -11y + y² - 152 = 0

Перепишем уравнение в виде y² - 11y - 152 = 0

a = 1, b = -11, c = -152

D = (-11)² - 4 × 1 × (-152) = 121 + 608 = 729

$$y_1 = \frac{11 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 27}{2} = \frac{38}{2} = 19$$

$$y_2 = \frac{11 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 27}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

e) 18 + 3x² - x = 0

Перепишем уравнение в виде 3x² - x + 18 = 0

a = 3, b = -1, c = 18

D = (-1)² - 4 × 3 × 18 = 1 - 216 = -215

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: а) x₁ = 1/2, x₂ = -1/7; б) y₁ = (3 - √29)/2, y₂ = (3 + √29)/2; в) нет корней; г) p = 1/9; д) y₁ = 19, y₂ = -8; e) нет корней.