238 Решите уравнение: a) (2x + 1)² + (3x + 1)² + (8x - 3)² = (7x - 2)(11x – 1); б) (6 - 3x)² + (5 - 4x)² - 6 = (9 - 5x)² + 20x - 32. в) (2x² + 7x + 3)(2x² + 7x + 5) - (2x² + 7x + 7)(2x² + 7x + 9) = -48; Указание: сначала сделайте замену t = 2x² + 7x + 3 и преобразуйте выр г) (x² + 9х 5)(x² + 9x + 5) - (x² + 9x + 7)(x² + 9x - 7) = 24.

а) Решим уравнение (2x + 1)² + (3x + 1)² + (8x - 3)² = (7x - 2)(11x – 1)

Раскроем скобки:

$$(4x^2 + 4x + 1) + (9x^2 + 6x + 1) + (64x^2 - 48x + 9) = 77x^2 - 7x - 22x + 2$$

$$77x^2 - 38x + 11 = 77x^2 - 29x + 2$$

$$77x^2 - 77x^2 - 38x + 29x + 11 - 2 = 0$$

$$-9x + 9 = 0$$

$$-9x = -9$$

$$x = 1$$

Ответ: x = 1

б) Решим уравнение (6 - 3x)² + (5 - 4x)² - 6 = (9 - 5x)² + 20x - 32

Раскроем скобки:

$$36 - 36x + 9x^2 + 25 - 40x + 16x^2 - 6 = 81 - 90x + 25x^2 + 20x - 32$$

$$25x^2 - 76x + 55 = 25x^2 - 70x + 49$$

$$25x^2 - 25x^2 - 76x + 70x + 55 - 49 = 0$$

$$-6x + 6 = 0$$

$$-6x = -6$$

$$x = 1$$

Ответ: x = 1

в) Решим уравнение (2x² + 7x + 3)(2x² + 7x + 5) - (2x² + 7x + 7)(2x² + 7x + 9) = -48

Сделаем замену $$t = 2x^2 + 7x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$(t + 3)(t + 5) - (t + 7)(t + 9) = -48$$

$$t^2 + 5t + 3t + 15 - (t^2 + 9t + 7t + 63) = -48$$

$$t^2 + 8t + 15 - t^2 - 16t - 63 = -48$$

$$-8t - 48 = -48$$

$$-8t = 0$$

$$t = 0$$

Вернемся к исходной переменной:

$$2x^2 + 7x = 0$$

$$x(2x + 7) = 0$$

$$x = 0$$ или $$2x + 7 = 0$$

$$2x = -7$$

$$x = -\frac{7}{2} = -3.5$$

Ответ: x = 0; x = -3.5

г) Решим уравнение (x² + 9х - 5)(x² + 9x + 5) - (x² + 9x + 7)(x² + 9x - 7) = 24

Сделаем замену $$t = x^2 + 9x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$(t - 5)(t + 5) - (t + 7)(t - 7) = 24$$

$$t^2 - 25 - (t^2 - 49) = 24$$

$$t^2 - 25 - t^2 + 49 = 24$$

$$24 = 24$$

Уравнение верно при любом t, а значит и при любом х.

Ответ: x - любое число