603. Решите уравнение: a) 3x+1-x-1=1; x+2 x-2

a) $$\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$$

ОДЗ: $$x \ne -2; x \ne 2$$

Приведём уравнение к общему знаменателю:

$$\frac{(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+2)(x-2)$$, получим:

$$(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = (x+2)(x-2)$$

Раскроем скобки:

$$3x^2 - 6x + x - 2 - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$$

$$3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$$

$$2x^2 - 6x = x^2 - 4$$

Перенесем все в левую часть:

$$2x^2 - 6x - x^2 + 4 = 0$$

$$x^2 - 6x + 4 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$$

$$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}$$

$$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$x_1 = 3 + \sqrt{5}; x_2 = 3 - \sqrt{5}$$